Mental Math Formulas

一、心算技巧（实用套路）

1. 平方心算

1.1 尾数是 5 的平方

(10a+5)² = a(a+1) 后面加 25
例：35² → 3×4=12 → 1225
例：95² → 9×10=90 → 9025

1.2 接近 100 的平方

(100−x)² = 10000 − 200x + x²
例：98² → 10000−400+4=9604
例：93² → 10000−1400+49=8649

1.3 接近 50 的平方

(50±x)² = 2500 ± 100x + x²
例：46² → 2500−400+36=2136
例：54² → 2500+400+16=2916

1.4 11~30平方表（必背）

11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225
16²=256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400
21²=441 22²=484 23²=529 24²=576 25²=625
26²=676 27²=729 28²=784 29²=841 30²=900

1.5 平方差秒算

(a+b)(a−b) = a² − b²
例：63×57 → 60²−3²=3600−9=3591
例：105×95 → 100²−5²=10000−25=9975

2. 乘法心算（核心套路）

2.1 接近 100 的乘法

(100−x)(100−y)
左：100−(x+y)
右：xy（补两位）
例：97×96 → 左93 右12 → 9312
例：94×92 → 左86 右48 → 8648

2.2 接近 1000 的乘法

(1000−x)(1000−y)
左：1000−(x+y)
右：xy（补三位）
例：998×997 → 左995 右006 → 995006
例：996×994 → 左990 右024 → 990024

2.3 两位数乘 11

ab×11 = a(a+b)b（注意进位）
例：58×11 → 5+8=13 → 638
例：79×11 → 7+9=16 → 869

2.4 乘 9 / 99 / 999

n×9 = n×10 − n
例：47×9 → 470−47=423

n×99 = n×100 − n
例：86×99 → 8600−86=8514

n×999 = n×1000 − n
例：234×999 → 234000−234=233766

2.5 乘 12（最常用）

n×12 = n×10 + n×2
例：48×12 → 480+96=576
例：125×12 → 1250+250=1500

2.6 乘 15（最常用）

n×15 = n×10 + n×5
例：64×15 → 640+320=960
例：38×15 → 380+190=570

2.7 乘 18（很强）

n×18 = n×20 − n×2
例：45×18 → 900−90=810
例：72×18 → 1440−144=1296

2.8 乘 25 / 50 / 75

n×25 = n×100 ÷4
例：96×25 → 9600÷4=2400

n×50 = n×100 ÷2
例：84×50 → 8400÷2=4200

n×75 = n×3×25
例：32×75 → 32×3=96 → 96×25=2400

2.9 两位数乘两位数通用心算

(10a+b)(10c+d) = 100ac + 10(ad+bc) + bd
例：34×27
=100×3×2 +10(3×7+4×2)+28
=600+290+28=918

例：58×46
=100×5×4 +10(5×6+8×4)+48
=2000+620+48=2668

3. 加减心算

3.1 补整加法

a+b = (a+k)+(b−k)
例：487+69 → 500+56=556
例：799+35 → 800+34=834

3.2 快速减法（借整）

1000−x = 999−(x−1)
例：1000−382 → 999−381=618
例：1000−75 → 999−74=925

3.3 连加凑整

先找能凑100/1000的组合
例：48+52+37+63 → 100+100=200
例：199+301+405+595 → 500+1000=1500

4. 除法心算

4.1 除以 5

÷5 = ×2 ÷10
例：245÷5 → 490÷10=49

4.2 除以 25

÷25 = ×4 ÷100
例：850÷25 → 3400÷100=34

4.3 除以 125

÷125 = ×8 ÷1000
例：625÷125 → 5000÷1000=5

4.4 除以 8 / 16

÷8 = ÷2÷2÷2
例：320÷8 → 160→80→40

÷16 = ÷2÷2÷2÷2
例：256÷16 → 128→64→32→16

5. 折扣与百分数心算

5.1 快速百分比

10% = ÷10
20% = ÷5
5% = ÷20
15% = 10%+5%

例：240的15% → 24+12=36
例：500的20% → 100

5.2 折扣计算

打8折 = ×0.8 = 减20%
例：300打8折 → 300−60=240

打75折 = ×0.75 = 减25%
例：400打75折 → 400−100=300

6. 开平方快速估算

平方根估算：找最接近的平方数
例：√500
22²=484，23²=529
所以 √500 ≈ 22.3

例：√900 = 30

7. 整除判断（检验神器）

能被2整除：末位0,2,4,6,8
例：246 ✓

能被3整除：数字和能被3整除
例：372 → 3+7+2=12 ✓

能被9整除：数字和能被9整除
例：729 → 18 ✓

能被5整除：末位0或5
例：875 ✓

能被11整除：奇位和−偶位和是11倍数
例：121 → (1+1)−2=0 ✓

能被4整除：末两位能被4整除
例：316 → 16 ✓

能被8整除：末三位能被8整除
例：1256 → 256 ✓

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二、数学公式（代数恒等式）

1. 平方公式

(a+b)² = a² + 2ab + b²

例：21²
= (20+1)²
= 400 + 40 + 1
= 441

例：32²
= (30+2)²
= 900 + 120 + 4
= 1024

(a−b)² = a² − 2ab + b²

例：49²
= (50−1)²
= 2500 − 100 + 1
= 2401

例：98²
= (100−2)²
= 10000 − 400 + 4
= 9604

(10a+5)² = a(a+1)·100 + 25

例：35²
= 3×4·100 + 25
= 1200 + 25
= 1225

例：85²
= 8×9·100 + 25
= 7200 + 25
= 7225

(a+b)(a−b) = a² − b²

例：53×47
= (50+3)(50−3)
= 50² − 3²
= 2500 − 9
= 2491

例：102×98
= (100+2)(100−2)
= 10000 − 4
= 9996

2. 乘法公式

a(b+c) = ab + ac

例：24×15
= 24×(10+5)
= 240 + 120
= 360

例：18×23
= 18×(20+3)
= 360 + 54
= 414

(100−x)(100−y) = 100(100−x−y) + xy

例：98×97
= (100−2)(100−3)
= 100×95 + 6
= 9506

例：96×94
= (100−4)(100−6)
= 100×90 + 24
= 9024

ab×11 = a(a+b)b（两位数）

例：47×11
= 4(4+7)7
= 517

例：62×11
= 6(6+2)2
= 682

n×9 = n×10 − n

例：37×9
= 370 − 37
= 333

例：84×9
= 840 − 84
= 756

n×99 = n×100 − n

例：56×99
= 5600 − 56
= 5544

例：123×99
= 12300 − 123
= 12177

3. 加减公式

a+b = (a+k)+(b−k)（补整法）

例：398+57
= 400+55
= 455

例：699+38
= 700+37
= 737

999+x = 1000+(x−1)

例：999+46
= 1000+45
= 1045

例：999+128
= 1000+127
= 1127

4. 立方与幂

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

例：11³
= (10+1)³
= 1000 + 300 + 30 + 1
= 1331

例：21³
= (20+1)³
= 8000 + 1200 + 60 + 1
= 9261

5. 除法公式

÷5 = ×2 ÷10

例：360÷5
= 720÷10
= 72

例：95÷5
= 190÷10
= 19

÷25 = ×4 ÷100

例：500÷25
= 2000÷100
= 20

例：360÷25
= 1440÷100
= 14.4

6. 常用分数与百分比

1/2 = 50%
例：80的一半 = 40

1/4 = 25%
例：200的四分之一 = 50

1/5 = 20%
例：150的五分之一 = 30

1/8 = 12.5%
例：80的八分之一 = 10

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三、国考资料分析（公式 + 技巧）

针对国家公务员考试行测「资料分析」模块：基期现期、增长量/率、比重、平均数、隔年与年均增速，以及特征数字法、首数尾数等速算技巧。

1. 核心概念与公式

基期与现期

基期量 = 现期量 ÷ (1+增长率)
当 |增长率| ≤ 5% 时，可近似：基期量 ≈ 现期量×(1−增长率)

现期量 = 基期量 × (1+增长率)

例：现期 105，增长率 5% → 基期 ≈ 105×(1−0.05)=99.75

增长量与增长率

增长量 = 现期量 − 基期量
增长量 = 现期量 × 增长率 ÷ (1+增长率)（已知现期和 r 时用）

增长率 r = (现期−基期)÷基期 = 增长量÷基期量

年均增长量 = (末期−初期)÷年份差

隔年增长率

r隔年 = r₁ + r₂ + r₁×r₂（r₁、r₂ 为连续两年增长率）
当 r₁、r₂ 较小时可近似：r隔年 ≈ r₁ + r₂

例：去年 10%、今年 8% → 隔年 ≈ 10%+8%+0.8% = 18.8%

比重

比重 = 部分量÷整体量
基期比重 = (B÷A) × (1+a)÷(1+b)（A、B 为现期整体与部分，a、b 为对应增长率）

比重变化判断：部分增速 > 整体增速 → 比重上升；部分 < 整体 → 比重下降；相等 → 不变。

比重变化量 ≈ (部分÷整体) × (部分增速−整体增速) ÷ (1+整体增速)

平均数与倍数

现期平均数 = 总量÷份数
基期平均数 = (B÷A) × (1+a)÷(1+b)

平均数增长率 = (总量增长率−份数增长率) ÷ (1+份数增长率)
判断：总量增速 > 份数增速 → 平均数上升；反则下降。

倍数 = A÷B（问「A 是 B 的几倍」用 A÷B；「A 比 B 多几倍」用 (A−B)÷B = A÷B−1）

2. 特征数字法（分数↔百分数）

资料分析里常把百分数换成「几分之一」心算，以下必记：

例：6460×25% → 6460÷4 = 1615
例：某量×14.3% → 近似 ×(1/7)，除以 7 即可

3. 速算技巧

首数法（看前几位）

选项差距大时，除法只算前一位或两位即可选答案。
例：12345÷312 ≈ 0.39…，只需求出 0.3x 即可排除。

尾数法（加减看尾数）

只算尾数即可排除选项，适用于加减、部分乘法。
例：234+567+891 → 只算 4+7+1=12，尾数 2。

有效数字法（乘除取 2～3 位）

乘法：取前两位相乘，再估数量级；除法：分子分母同取 2～3 位再除。
例：4567×0.23 ≈ 46×23≈1058，再定小数位得约 1050。

估算法（四舍五入、截位）

根据选项精度，对数据截位或四舍五入，减少位数再算。

直除法（一步除到底）

A÷B 直接除，结合选项看商到第几位即可。

4. 比较与判断口诀

增长量比较：大大则大——现期大、增长率也大，则增长量一般大；小小则小同理。
（若一个现期大一个 r 大，需算 现期×r/(1+r) 比较）

比重/平均数变化：部分（总量）增速 > 整体（份数）增速 → 上升；反之下降；相等则不变。

倍数陷阱：「A 是 B 的几倍」= A÷B；「A 比 B 多几倍」= (A−B)÷B = A÷B−1，别混。

5. 年均增长率（选考）

(1+年均增速)^n = 末期÷基期（n 为年份差）
开 n 次方不好算时，可用选项代入验证，或近似：年均增速 ≈ (末期÷基期−1)÷n（粗略估计）。

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